過渡応答を求めるのって正直面倒臭いですよね!電気系の学生には多分頷いてもらえると思います。
中でも面倒臭いのは正弦波が入力された時。微分方程式を直接解くにしても難しいし、ラプラス変換するにしても部分分数展開するにしても面倒臭い困ったやつです。
授業で習ったわけでは無いのですが、図書館の本にそんな過渡応答を比較的簡単に求める方法が載っていたので紹介したいと思います。
例えばの時にスイッチを閉じて、静止状態の回路に正弦波電圧を印加したとして、過渡応答を求めたいとしましょう。
のラプラス変換は、のラプラス変換はなのでとしてs回路に変換して解くのも手ですが、部分分数展開の時に計算が大変です。
じゃあどうするか?回路の定常解を求めた時の事を思い出して下さい。まずの様な入力をに置き換えたあとキャパシタとインダクタもゴニョゴニョして、複素数の解を求めた後に実部または虚部を取って定常解を求めてましたよね。
実は過渡応答でもこれと似たような方法で求めることができて、をと置き換えてからs回路で過渡応答を求め、虚部を取れば同じ答えが得られます。
早速この方法で求めてみましょう!
と置き換えたので、s領域での電源はになります。
との並列抵抗はなので、キルヒホッフの電圧則とオームの法則から一気にが求まります。
と置くと
ここで部分分数展開をしてと置き換えた時の過渡応答を求める訳ですが、分母を見て下さい。正弦波を指数関数に置き換えたことで部分分数展開がしやすい形になっていることが分かります。
両辺を逆ラプラス変換して仮のを得ます。
この仮のの虚部を取れば、求めたいが求まるんでしたよね。
に関しては単にを分流するだけで求まります。
間違い等があれば指摘して下さい。